Capítulo 4 — De Arithmetica[pa12]
Scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas primam omnium arithmeticam esse uoluerunt, propterea quoniam musica et geometria et astronomia, quae sequuntur, indigent arithmeticam ut uirtutes suas ualeant explicare, uerbi gratia, simplu m ad duplum, quod habet musica, indiget arithmeticam; geometria uero quod habet trigonum, quadriangulum, uel his similia, idem indiget arithmeticam; astronomia etiam quod habet in motu siderum numeros punctorum, indiget arithmeticam; arithmetica u ero ut sit, neque musica neque geometria neque astronomia egere cognoscitur. Propterea his fons et mater arithmetica re peritur, quam disciplinam Pythagoras sic laudasse monstratur, ut omnia sub numero et mensura a deo creata fuisse memoraret, dicens alia in motu, alia in statu ita esse formata, ut tamen nulla eorum praeter ista quae dicta sunt substantiam percepissent; credo, trahens hoc initium, ut multi philosophorum fecerunt, ab illa sententia prophetali, quae dicit omnia deum mensura, numero et pondere disposuisse.
Haec itaque consistit ex quantitate discreta, quae parit genera numerorum nullo sibi communi termino sociata. v enim ad x, vi ad iiii , vii ad iii per nullum communem terminum alterutra sibi societate nectuntur. Arithmetica uero dicitur eo quod numeris praeest. Numerus autem est ex monadibus multitudo composita, ut iii, v, x, xx et cetera. Intentio arithmeticae est docere nos naturam abstracti numeri et quae ei accidunt, ut, uerbi gratia, parilitas, imparilitas et cetera.
Numerus autem diuiditur:
Par numerus est qui in duabus partibus aequalibus diuidi potest ut ii, iiii, vi, viii, x et reliqui. Impar numerus est qui in duabus partibus aequalibus diudi nullatenus[pa8] potest, ut iii, v, vii, viiii, xi et reliqui. Pariter par numerus est cuius diuisio in duabus aequalibus partibus fieri potest usque ad monada, ut uerbi gratia lxiiii diuiduntur in xxxii, xxxii in xvi, xvi in viii, viii in iiii , iiii in ii, ii uero in i et i. Pariter impar numerus est qui similiter solummodo in duabus partibus diuidi potest aequalibus, ut x in v, xiiii in vii, xviii in viiii et his similia. Impariter par numerus est qui plures diuisiones secundum aequalitatem partium recipere potest, non tamen ut usque ad assem perueniat, ut uerbi gratia xxiiii in bis xii, xii in bis vi, vi uero in bis iii, et amplius non procedit. Primus de imparibus et simplex numerus est qui monadicam mensuram solam recipere potest, ut uerbi gratia iii, v, vii, xi, xiii, xvii et his similia. Secundus et compositus numerus est qui non solum monadicam mensuram, sed et arithmeticam recipere potest, ut uerbi gratia viiii, xv, xxi et his similia. Mediocris numerus est qui quodammodo simplex et incompositus esse uidetur, alio uero modo secundus et compositus, ut uerbi gratia viiii ad xv dum comparatus fuerit, primus est et incompositus, quia non habet communem numerum nisi solum monadicum; ad xv uero si comparatus fuerit, secundus est et compositus, quoniam inest illi communis numerus praeter monadicum, id est, trinarius numerus, qui nouem mensurat ter terni et xv ter quini.
Altera diuisio de paribus et imparibus: Numerus
Superfluus numerus est qui descendit de paribus. Is, dum par sit, superfluas partes quantitatis suae habere uidetur, ut xii habent medietatem vi, sexta pars ii, quarta pars iii, tertia pars iiii et duodecima pars i, qui omnes summatim fiunt xvi. Indigens numerus est qui et ipse de paribus descendit. Is quantitatis suae summam partium inferiorem habet, ut viii, cuius medietas iiii, quarta pars ii, octaua pars i, quae simul congregatae partes fiunt vii. Perfectus numerus est qui tamen et ipse de paribus descendit. Is, dum par sit, omnes partes suas simul assumptas aequales habet, ut vi, cuius medietas iii, tertia pars ii, sexta pars i, quae assumptae partes faciunt ipsum senarium numerum.
Tertia diuisio totius numeri. Omnis numerus
Per se numerus est qui sine relatione aliqua dicitur, ut iii, iiii, v, vi et caeteri similes. Ad aliquid numerus est qui relatiue ad alios comparatur, ut uerbi gratia iiii ad ii dum comparatus fuerit, duplex dicitur et multiplex, vi ad iii, viii ad iiii, x ad v, et iterum iii ad i triplex, vi ad ii, viiii ad iii et caeteri. Aequales numeri dicuntur qui secundum quantitatem aequales sunt, ut uerbi gratia ii ad ii, iii ad iii, x ad x, c ad c et caeteri. Inaequales numeri sunt qui ad inuicem comparati inaequalitatem demonstrant, ut iii ad ii, iiii ad iii, v ad iiii, x ad vi ; et uniuersaliter maior minori aut minor maiori huiusmodi dum comparatus fuerit, inaequalis dicitur. Maior numerus est qui habet in se illum minorem numerum, ad quem comparatur, et aliquid plus, ut uerbi gratia quinarius numerus trinario numero fortior e st, eo quod habeat quinarius numerus in se trinarium numerum et alias partes eius duas, et reliqui tales. Minor numerus est qui... Multiplex numerus est qui habet in se minorem numerum bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut uerbi gratia ii ad unum dum comparati fuerint, duplex est, iii ad i triplex, iiii quadruplex et reliqui. E contra submultiplex numerus est qui intra multiplicem continetur bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut uerbi gratia unus a duobus bis continetur, a tribus ter, a iiii quater, a v quinquies, et ab aliis multipliciter. Superparticularis numerus est, dum fortior continet intra se inferiorem numerum circa quem comparatur, similiter et unam partem eius, ut uerbi gratia iii ad ii dum comparati fuerint, continent in se ii et alium i, qui media pars est duorum, iiii ad iii dum comparati fuerint, continent in se iii et alium i, qui est tertia pars trium, iterum v ad iiii dum comparati fuerint, habent in se quaternarium numerum et alium unum, qui quarta pars esse dicitur quaternarii numeri, et caeteri tales. Subsuperparticularis numerus est minor, qui continetur in fortiore numero cum alia una parte sua aut media aut tertia aut quarta aut quinta, ut uerbi gratia ii ad iii, iii ad iiii, iiii ad v et ceteri. Superpartiens numerus est qui in se inferiorem numerum totum continet, et super hoc alteras partes eius duas aut iii aut iiii aut v aut alias, ut uerbi gratia v ad iii dum comparati fuerint, habet in se quinarius numerus trinarium numerum et super haec alias partes eius duas; vii ad iiii dum comparati fuerint, habent in se iiii et alias iii partes eius; viiii ad v dum comparati fuerint, habent in se v et alias iiii partes eius. Subsuperpartiens numerus est qui continetur in numero superpartienti cum aliquibus partibus suis duabus aut tribus aut pluribus, ut uerbi gratia iii continentur a v cum aliis duabus partibus suis; iiii a vii cum tribus partibus suis; v a viiii cum quattuor partibus suis. Multiplex superparticularis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet in se totum inferiorem numerum multipliciter cum aliqua parte eius, ut uerbi gratia v ad ii dum comparati fuerint, continent in se bis bini cum una parte eius; viiii ad iiii dum comparati fuerint, continent in se bis quaterni et unam partem eus. Submultiplex superparticularis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi numerum comparatus fuerit, continetur a fortiore sibi multipliciter cum alia una parte sua, ut uerbi gratia ii ad v dum comparati fuerint, continentur ab eo bis cum una parte sua. Multiplex superpartionalis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet eum multipliciter cum aliis partibus eius, ut uerbi gratia viii ad iii dum comparati fuerint, continent in se bis terni cum aliis duabus partibus eius; xiiii ad vi dum comparati fuerint, continent intra se bis seni cum aliis duabus partibus eius; xvi ad vii dum comparati fuerint, continent eum bis cum aliis duabus partibus eius; xviiii ad viii dum comparati fuerint, continent intra se bis viii cum aliis tribus partibus eius. Submultiplex superpartionalis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi comparatus fuerit, continetur ab eo multipliciter cum aliquibus partibus suis, ut uerbi gratia iii ad viii continentur bis cum duabus partibus suis; iiii ad xv continentur tertio cum tribus partibus suis.
Sequitur quarta diuisio totius numeri. Numeri
Discretus numerus est qui a discretis monadibus continetur, ut uerbi gratia iii a iiii, v a vi et reliqui. Continens numerus est qui a coniunctis monadibus continetur, ut uerbi gratia trinarius numerus, si in magnitudine intellegatur, id est, in linea aut spatium aut solidum, dicitur continens, similiter quaternarius et quinarius numeri. Linealis numerus est qui inchoans a monade linealiter scribitur usque ad infinitum, unde alpha ponitur pro designatione linearum, quoniam haec littera unum significat apud Graecos: aaa. Superficialis numerus est qui non solum longitudine sed et latitudine continetur, ut trigonus numerus, quadratus numerus, quinquiangulus numerus, circulatus numerus, et caeteri qui semper in superficie continentur. Trigonus numerus est ita: Quadratus numerus est ita:
Quinquiangulus ita:
Circularis numerus est qui, dum similiter multiplicatus fuerit, a se inchoans ad se conuertitur, ut uerbi gratia quinquies quini xxv est ita:
[Ita et in senario contingit ut sexies seni xxxvi et sexies xxxvi ccxvi.] Solidus numerus est qui longitudine et latitudine uel altitudine continetur, ut sunt pyramides, qui in modum a flammae consurgunt, ita:
Cybi, ut sunt tesserae, ita:
Spherae, quibus est aequalis undique rotunditas, ita:
Sphaericus autem numerus est qui a circulato numero multiplicatus a se inchoans ad se conuertitur, ut uerbi gratia quinquies quini xxv ; hic circulus dum in se ipsum multiplicatus fuerit, facit spheram, id est, quinquies xxv cxxv.
His igitur rebus sollicita mente tractatis, memento quod haec discplina ideo caeteris antefertur, quonam ipsa, sicut superius dictum est, ut sit, nullius alterius indulget disciplinae. Reliquae uero quae sequuntur, sicut eius iam qualitas uirtutis ostendit, ut sint atque subsistant, indigent arithmetica disciplina. Quam apud Graecos Nicomachus diligenter exposuit. Hunc prius Madaurensis Apuleius, deinde magnificus uir Boethius latino sermone translatum Romanis contulit lectitandum, quibus, ut aiunt, si qui s saepius utitur, quantum hominibus fas est, lucidissima procul dubio ratione perfunditur. Datum est etiam nobis ex magna parte sub ipsa uiuere disciplina; quando horas per eam discimus, quando mensuum curricula supputamus, quando spatium anni redeuntis agnoscimus, per numerum siquidem ne confundamur instruimur. Tolle saeculo compo tum, et omnia ignorantia caeca complectitur, nec differre potest a caeteris animalibus, qui calculi non intellegit quantitatem. Et ideo tantum gloriosa res est, quantum uitae nostrae necessaria comprobatur. Nam per ipsam et substantia nostra certissime dis citur, et expensarum modus libratis supputationibus erogatur. Numerus est qui cuncta disponit; per ipsum discimus quid primo, quid secundo facere debeamus.
Et si causam tantae re suptili praescrutatione discutias, nec miracula domini a uirtute numeri redduntur aliena. Primus ad unum pertinet deum, sicut in Pentateucho legitur, Audi, Israel, dominus deus tuus dominus unus est. Secundus ad duo pertinet testamenta, quod ait in Regum, Et fecit in Dabir duo cherubin decem cubitorum magnitudine. Postremo totius spei nostrae suauissimus fructus in sancta trinitate repositus est, non quod ipsa sub numero sit, sed illa numeri utilitatem potentia suae maiestatis ostendit. In essentia siquidem diuinitatis monas intellegitur, in personis uero trinitas comprobatur. Legitur enim in epistula Iohannis, Tria sunt quae testimonium perhibent, aqua, sanguis et spiritus. De quattuor euangeliis etiam in Ezechiel legitur, Et ex medio eorum similitudo quattuor animalium. Quintus numerus ad quinque libros Moysi noscitur pertinere, sicut in Apostolo legitur, In ecclesia uolo quinque uerba sensus eloqui. Sexto uero die dominus hominem fecit ad imaginem et similitudinem suam. Nam et ipsum spiritum sanctum dicimus et credimus septiformem, et ut res summae atque omnipotentissimae intellegantur, numerus nobis necessarius inuenitur. Nunc ueniamus ad musicam, quae ipso nomine et propria uirtute suauis est.